Claude a prouvé le dernier théorème de Fermat en 11 jours

En 1637, un juriste de Toulouse griffonne une note en marge d’un livre de maths : il a trouvé une démonstration vraiment merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir. Pierre de Fermat emporte son secret dans la tombe, et le monde cherche la suite pendant 350 ans.

Le 4 septembre, Anthropic a publié autre chose qu’un communiqué : la première preuve complète du fameux théorème de Fermat vérifiée par un ordinateur*. Une flotte d’agents Claude l’a écrite en Lean, un langage conçu pour que la machine contrôle chaque étape d’un raisonnement. Onze jours de travail quasi autonome, 13 millions de lignes de code, et un théorème vieux de trois siècles et demi certifié jusqu’aux axiomes.

Avoue : tu pensais que les IA servaient à générer des images de chats et à résumer des PDF. Voilà plus troublant, et surtout, c’est vérifiable ligne par ligne. Par un logiciel. Pas par toi.

Le théorème qui a résisté 350 ans

L’énoncé tient en une ligne : il n’existe aucun triplet d’entiers strictement positifs a, b et c qui vérifie aⁿ + bⁿ = cⁿ dès que n dépasse 2. Avec n égal à 2, ça marche à merveille : 3² + 4² = 5², le triangle rectangle de Pythagore, celui que tu as souffert au collège. Mais dès qu’on passe au cube, plus rien. Jamais. Et le « vraiment merveilleux » raisonnement de Fermat n’a jamais été retrouvé : avec les outils de son époque, il ne pouvait tout simplement pas marcher.

L’histoire a surtout laissé des dégâts. En 1908, un mathématicien allemand lègue 100 000 marks d’or à qui produira une preuve correcte : la fondation reçoit 621 fausses pistes dès la première année. En juin 1993, le Britannique Andrew Wiles annonce enfin la solution après sept ans de travail caché. Deux mois plus tard, un relecteur trouve une faille dans sa démonstration. Wiles met un an à la colmater avec son ancien étudiant Richard Taylor, et publie en mai 1995 une preuve de 129 pages.

Et vérifier ces 129 pages a demandé des mois de relecture par plusieurs équipes. Ce n’est pas un cas isolé : la conjecture de Kepler a passé quatre ans en révision avant un verdict « sûr à 99 % ». C’est exactement ce problème que la formalisation attaque.

Écrire une preuve que la machine peut vérifier

Un assistant de preuve comme Lean, c’est un logiciel qui contrôle la logique d’un raisonnement, pas l’élégance d’un texte. On y réécrit chaque étape, même celles qu’un humain juge évidente, et le programme vérifie que tout s’enchaîne sans trou. Quand Lean dit oui, la preuve est correcte, point. L’équivalent d’une calculatrice : personne ne discute le résultat de 2+2.

Le hic, c’est le prix du billet. Une preuve écrite pour des humains saute des milliers d’étapes « évidentes », alors que Lean veut tout voir, du premier axiome jusqu’à la conclusion. Les mathématiciens s’appuient donc sur Mathlib, une immense bibliothèque communautaire de théorèmes déjà formalisés. Et pour Fermat, le chantier était estimé en années : le simple plan de travail coordonné par Kevin Buzzard, à l’Imperial College de Londres, depuis 2024 tient sur 86 pages.

Onze jours et trente mille théorèmes

C’est là que Tianyi Peng, chercheur chez Anthropic qui construit à Columbia des outils de formalisation par IA, a lancé l’expérience : et si Claude s’attaquait au plus gros chantier du genre ? Le run démarre le 7 août au petit matin. Onze jours plus tard, dans la nuit du 17 au 18, la carte « FLT » du tableau passe au statut prouvé. Les extraits des réflexions des agents sont savoureux : « Le FLT root est PROVED. Moment historique. »

Les chiffres du run donnent le vertige :

• 11 jours de travail quasi autonome, du 7 au 18 août 2026
• 13 millions de lignes de Lean, soit plus de 5 fois la taille de Mathlib
• 30 300 théorèmes intermédiaires prouvés, dont 29 500 utilisés dans la preuve finale
• Environ 6 milliards de tokens de sortie consommés
• Une seule intervention humaine en amont : des instructions d’une ligne, genre « le théorème de Mazur, pousse-le vite »

Concrètement, des dizaines d’agents Claude ont travaillé en parallèle sur Prove2Me*, une plateforme collaborative ouverte imaginée à l’université Columbia. Elle maintient le graphe des théorèmes : chaque agent voit ce qui est déjà démontré, choisit le maillon suivant à prouver et réutilise le travail des autres. Les premières tentatives, sans cette colonne vertébrale, avaient échoué : les agents perdaient le fil et ne collaboraient plus. Leurs échecs ont quand même fourni 7 % des lignes utiles de la preuve finale.

Source : Anthropic, billet officiel, le 4 septembre 2026.

La preuve que personne ne lira

Il faut être précis, parce que c’est le cœur du sujet : Claude n’a pas inventé une nouvelle démonstration. Il a formalisé celle de Wiles, en suivant une version simplifiée due aux mathématiciens Darmon, Diamond et Taylor. La vraie nouveauté, c’est la vérification. Lean a contrôlé les 13 millions de lignes avec ses trois axiomes standards, et un outil de comparaison a confirmé que l’énoncé prouvé est bien celui de Mathlib. Le théorème est vrai, certifié par un programme, sans qu’aucun humain n’ait relu la moindre ligne.

Kevin Buzzard, qui coordonne la formalisation de Fermat depuis 2024, parle d’un « exploit extraordinaire d’autoformalisation ». Sa remarque la plus intéressante est ailleurs : si on peut formaliser FLT automatiquement, on peut formaliser la littérature mathématique moderne. Comprendre une nouvelle preuve prend des mois, parfois des années ; un jour, peut-être, un programme le fera en quelques heures et signalera au passage les erreurs qui dorment dans des articles déjà publiés.

Ce que ça change pour toi

Tu n’écriras probablement jamais une ligne de Lean, et c’est très bien comme ça. Mais la dynamique te concerne directement. On a déjà vu l’IA s’attaquer au noyau Linux :

l'IA a découvert des milliers de bugs dans le noyau Linux, au point de saturer les mainteneurs humains. La suite logique, c’est la même chose en sciences : une IA qui produit un résultat ET fournit le certificat qui permet de le vérifier sans confiance aveugle.

Pour les chercheurs, ça répond à une peur bien réelle : l’IA qui « hallucine » des démonstrations fausses. Quand la sortie passe par un vérificateur comme Lean, le faux est rejeté mécaniquement, pas débusqué à la relecture. Pour tout le monde, c’est un réflexe utile : la prochaine fois qu’une IA annonce un exploit, la bonne question n’est pas « c’est vrai ? » mais « ça a été vérifié par quoi ? ». Anthropic a mis la preuve en ligne sur GitHub sous licence Apache 2.0 ; elle pèse des gigaoctets et personne, littéralement, ne la lira en entier.

Fermat se plaignait d’une marge trop étroite. Claude, lui, disposait de 13 millions de lignes et de six milliards de tokens. La preuve tant cherchée existe enfin, et c’est la machine qui la garde : personne ne la lira jamais, mais tout le monde peut la vérifier.

Sources

Anthropic (billet officiel), l’annonce complète avec les chiffres du run et les extraits des réflexions des agents.

le dépôt GitHub de la preuve, mis en ligne par Anthropic sous licence Apache 2.0.

New Scientist, le regard de la presse scientifique sur la formalisation en onze jours.

la communauté Lean, la page du projet de formalisation communautaire coordonné par Kevin Buzzard.

Prove2Me, la plateforme collaborative ouverte sur laquelle les agents ont collaboré.

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Recherche, relecture et illustration assistées par IA. Le contenu reflète le travail éditorial de la rédaction.